Áreas y volúmenes de poliedros cóncavos.

Ya que hay numerosos poliedros cóncavos, voy a calcular el área y volumen de dos de los anteriores.

DODECAEDRO:    Área: 30.a.ap     Volumen: 1/4. (15+7√5) a³

Ejemplo:calcula el área y volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6,88 cm.
Solución:
 


ICOSAEDRO:
Dado un icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen v según esta fórmula:

(Aproximadamente 2,18·a³)

Y el área total de sus caras A, mediante:

(Aproximadamente 8,66·a²)

Desarrollo en plano de un ejemplo de poliedro cóncavo.

Hay muchos tipos de figuras que son poliedros cóncavos. Aquí os voy a mostrar algunas de ellas:

GRAN DODECAEDRO:

GRAN ICOSAEDRO: 

       

GRAN DODECAEDRO ESTRELLADO: 

Ejemplos de poliedros cóncavos en nuestra vida cotidiana.

Los poliedros cóncavos son más comunes en nuestra vida cotidiana de lo que imaginamos:




Dejando los ejemplos de casas atrás, también podemos encontrar poliedros cóncavos en objetos más comunes:


La verdad es que casi todo lo que nos rodea tiene forma de poliedros cóncavos, pero algunos objetos lo hacen notar más que otros.

Poliedro cóncavo: definición.

Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. En estos poliedros una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante. Una forma más intuitiva de comprenderlo es la de
que un poliedro cóncavo es aquel que no siempre se puede apoyar en un plano sobre cualquier cara, es
decir que existen caras que no se pueden apoyar sobre un plano infinito.

En un poliedro cóncavo, se puede unir dos puntos del cuerpo y que algunos puntos de la recta unión estén fuera del cuerpo. 

Se diferencia con el convexo en que, en este, todo el poliedro está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al poliedro.  

8. Longitudes y áreas circulares.

<---- Longitud del arco de circunferencia








  Área del sector circular---->

<--- Área de la corona circular






Área del trapecio circular--->

7. Longitudes y áreas de figuras poligonales.

                                               :  

6. Triángulos: rectas y puntos notables.

• Mediatrices y circuncetro:

Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.

El punto en el que se cortan se llama circuncentro.

• Bisectrices e incentro:

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de cada uno de sus ángulos.

El punto en el que se cortan se llama incentro.

• Medianas y baricentro: 

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por cada vértice y por el punto medio del lado opuesto.
El punto en el que se cortan se llama baricentro.

• Alturas y ortocentro:

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto o a su prolongación.

El punto en el que se cortan se llama ortocentro.

1. Ángulos de un polígono.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es de 180º.



La suma de los ángulos interiores de un polígono
de n lados es 180º. (n-2).

Si el polígono de n lados es regular, todos sus ángulos interiores son iguales y su medida es: 180º.(n-2)/n

Un ejercicio para practicar: calcula la medida del ángulo que falta en un hexágono con vértices de 120º, 90º, 100º y 130º.

• Lo primero a tener en cuenta es que los ángulos interiores de un hexágono suman 4.180º=720º
• Lo siguiente que tienes que hacer es sumar los ángulos e igualarlos a 720º.
• Por tanto: Â+100º+90º+Â+130º+120º=720º---> 2Â=280º---> Â=140º
• El ángulo que falta es de 140º.